Đại số

Đại số là một trong những phân nhánh rộng lớn của toán học tập, cùng theo với lý thuyết số, hình học tập và giải tích. Theo nghĩa công cộng nhất, đại số là sự nghiên cứu và phân tích về ký hiệu toán học tập và những quy tắc cho những thao tác những ký hiệu trên; nó là một trong những chủ thể thống nhất của đa số toàn bộ nghành nghề của toán học tập.^[1] Như vậy, đại số bao hàm toàn bộ tất cả kể từ Giải phương trình cung cấp đái học tập cho tới những nghiên cứu và phân tích trừu tượng như group, khoanh và ngôi trường. Phần cơ phiên bản rộng lớn của đại số được gọi là đại số sơ cung cấp, phần trừu tượng rộng lớn của chính nó được gọi là đại số trừu tượng hoặc đại số tiến bộ. Đại số sơ cung cấp thông thường được xem như là quan trọng mang đến ngẫu nhiên nghiên cứu và phân tích toán học tập, khoa học tập, hoặc chuyên môn này, cũng giống như các phần mềm không giống giống như các ngành nó học tập và tài chính. Đại số trừu tượng là một trong những nghành nghề cần thiết nhập Toán học tập tiên tiến và phát triển, là đối tượng người sử dụng nghiên cứu và phân tích đa phần của những mái ấm toán học tập có tính chuyên nghiệp. Hầu không còn những trở nên tựu thứ nhất của môn đại số đều phải sở hữu xuất xứ giờ Ả Rập như cái thương hiệu của chính nó tiếp tục khêu ý, đã và đang được những mái ấm toán học tập người Ba Tư nghiên cứu và phân tích bên trên Trung Đông^[2][3] như Al-Khwārizmī (780–850)^[4] và Omar Khayyam (1048–1131).^[5]

Đại số sơ cung cấp không giống số học tập trong công việc dùng những định nghĩa trừu tượng, ví dụ như dùng vần âm để thay thế mang đến số lượng hoặc là không biết hoặc được cho phép có tương đối nhiều độ quý hiếm.^[6] Ví dụ, nhập phương trình vần âm là không biết, tuy nhiên luật nghịch tặc hòn đảo hoàn toàn có thể được dùng nhằm mò mẫm đi ra độ quý hiếm của nó: Trong biểu thức E = mc², những vần âm và là những biến chuyển số, còn vần âm là một trong những hằng số, vận tốc độ sáng nhập chân ko. Đại số đưa đến cách thức nhằm giải phương trình và thể hiện tại công thức đơn giản và dễ dàng rộng lớn (đối với những người dân biết thực hiện thế này nhằm dùng chúng) đối với cách thức cũ người sử dụng ngữ điệu viết lách đi ra toàn bộ tất cả tự câu nói..

Từ đại số cũng khá được dùng nhập cơ hội chuyên nghiệp ngành chắc chắn. Các phân ngành của đối tượng người sử dụng toán học tập nhập đại số trừu tượng được gọi là "đại số", và kể từ này được dùng trong những cụm kể từ như đại số tuyến tính và tô pô đại số.

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

"Đại số" là một trong những kể từ Hán-Việt (代數), chỉ cho tới việc dùng ký hiệu nhằm đại diện thay mặt cho những số lượng. Từ này được mái ấm toán học tập Trung Quốc Lý Thiện Lan (李善蘭) dịch đi ra kể từ định nghĩa kể từ Tây phương. Trong những ngữ điệu Tây phương, kể từ đại số (algebra) phân phát mối cung cấp kể từ giờ Ả Rập الجبر (al-jabr, Có nghĩa là phục chế). Nó được lấy kể từ tựa đề cuốn sách Ilm al-jabr wa'l-muḳābala của al-Khwarizmi.

Đại số như 1 phân nhánh của toán học[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số chính thức với những đo lường và tính toán tương tự động như số học tập, với vần âm thay cho mang đến chữ số.^[6] Vấn đề này được cho phép minh chứng những tấp tểnh lý hoặc công thức là đích tuy nhiên ko nên quan hoài cho tới những số đem tương quan. Ví dụ, nhập phương trình bậc hai

hoàn toàn có thể là ngẫu nhiên số này (ngoại trừ nên không giống ), và công thức giải phương trình bậc nhị hoàn toàn có thể được dùng nhanh gọn và đơn giản và dễ dàng nhìn thấy những độ quý hiếm của biến chuyển số .

Trong quy trình cách tân và phát triển, đại số đã và đang được không ngừng mở rộng cho tới những đối tượng người sử dụng ko nên số không giống, ví dụ như vectơ, quỷ trận và nhiều thức. Sau cơ, những tính chất cấu hình của những đối tượng người sử dụng ko nên số này được tóm lược nhằm xác lập những cấu hình đại số như group, khoanh và ngôi trường.

Trước thế kỷ 16, toán học tập được tạo thành nhị nghành nghề số học tập và hình học tập. Mặc mặc dù một vài cách thức đã và đang được cách tân và phát triển từ xưa, hoàn toàn có thể được xem như là đại số, tuy nhiên sự xuất hiện tại của đại số, và ko lâu tiếp sau đó, những quy tắc vi phân và tích phân như 1 nghành nghề của toán học tập chỉ mất kể từ thế kỷ 16 hoặc 17. Từ nửa sau của thế kỷ 19 trở chuồn, nhiều nghành nghề mới mẻ của toán học tập xuất hiện tại, đa số nhập số này đã dùng cả số học tập và hình học tập, và gần như là toàn bộ nhập số này đều dùng đại số.

Ngày ni, đại số tiếp tục cách tân và phát triển cho tới Khi nó sẽ bị bao hàm nhiều ngành của toán học tập, như hoàn toàn có thể thấy nhập Phân loại Chủ đề Toán học^[7] điểm không tồn tại nghành nghề này nhập số những nghành nghề cường độ thứ nhất (với nhị chữ số) được gọi là đại số. Ngày ni đại số bao hàm những phần 08 – Hệ thống đại số công cộng, 12 – Lý thuyết ngôi trường và nhiều thức, 13 – Đại số phó hoán, 15 – Đại số tuyến tính và đại số nhiều tuyến; Lý thuyết quỷ trận, 16 – Vành phối kết hợp và đại số, 17 – Vành ko phối kết hợp và đại số, 18 – Lý thuyết thể loại; đại số đồng điều, 19 – Thuyết K và đôi mươi – Lý thuyết group. Đại số cũng khá được dùng thoáng rộng nhập 11 – Lý thuyết số và 14 – Hình học tập đại số.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Lịch sử thuở đầu của đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Cội mối cung cấp của đại số đem xuất xứ kể từ người Babylon thượng cổ,^[8] vốn liếng tiếp tục cách tân và phát triển một khối hệ thống số học tập tiên tiến và phát triển mà người ta tiếp tục hoàn toàn có thể thực hiện những quy tắc tính theo đuổi phong thái thuật toán. Người Babylon tiếp tục cách tân và phát triển những công thức nhằm đo lường và tính toán những câu nói. giải cho những câu hỏi tuy nhiên thời nay thông thường được giải quyết và xử lý bằng phương pháp dùng phương trình tuyến tính, phương trình bậc nhị, và phương trình tuyến tính ko xác lập. trái lại, đa số người Ai Cập của thời đại này, cũng giống như các mái ấm toán học tập Hy Lạp và Trung Quốc nhập thiên niên kỷ 1 TCN, thông thường giải những phương trình như thế tự cách thức hình học tập, ví dụ điển hình giống như các tế bào miêu tả nhập sách toán viết lách trong giấy tờ vệ sinh sậy Rhind, Cơ sở của Euclid và Cửu chương toán thuật. Lời giải tự hình học tập của những người Hy Lạp, tiêu biểu vượt trội nhập cuốn Cơ sở, cung cung cấp một phạm vi mang đến việc bao quát công thức không chỉ có giành cho câu nói. giải của những câu hỏi rõ ràng mà còn phải đem bọn chúng vào trong 1 khối hệ thống công cộng rộng lớn nhằm tế bào miêu tả và giải phương trình, tuy nhiên điều này sẽ không còn được tiến hành cho tới Khi toán học tập cách tân và phát triển nhập Hồi giáo thời kỳ Trung Cổ.^[9]

Đến thời của Plato, toán học tập Hy Lạp tiếp tục trải qua quýt một sự thay cho thay đổi mạnh mẽ và uy lực. Người Hy Lạp thượng cổ đưa đến một dạng đại số hình học tập, nhập cơ những kể từ ngữ được đại diện thay mặt tự những mặt mũi của những đối tượng người sử dụng hình học tập, thông thường là những loại kẻ với những vần âm link ở lân cận.^[6] Diophantus (thế kỷ 3) là một trong những mái ấm toán học tập Hy Lạp ở Alexandria và là người sáng tác của hàng loạt những cuốn sách mang tên Arithmetica. Những cuốn sách này triệu tập nhập việc giải quyết và xử lý phương trình đại số,^[10] và đã mang lý thuyết số cho tới với phương trình Diophantos.

Các cách thức đại số hình học tập tiếp tục thảo luận phía trên đem tác động thẳng cho tới mái ấm toán học tập người Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (khoảng 780 – 850). Ông tiếp sau đó tiếp tục viết lách cuốn sách Cách đo lường và tính toán dựa vào phục sinh và cân nặng bằng. Cuốn sách này tiếp tục đầu tiên đem đại số trở nên một phân nhánh song lập của toán học tập, tách tách đại số ngoài hình học tập và số học tập.^[11]

Các mái ấm toán học tập thời Hellenistic Hero của Alexandria và Diophantus^[12] cũng giống như các mái ấm toán học tập bấm Độ như Brahmagupta tiếp tục truyền thống lâu đời của Ai Cập và Babylon, tuy nhiên kiệt tác của Arithmetica của Diophantus và kiệt tác Brāhmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta ở sang trọng cao hơn nữa.^[13] Ví dụ, biện pháp số học tập khá đầy đủ thứ nhất (bao bao gồm cả những nghiệm là số ko và số âm) của phương trình bậc nhị được Brahmagupta tế bào miêu tả nhập cuốn sách Brahmasphutasiddhanta. Sau cơ, những mái ấm toán học tập Ba Tư và Ả Rập cách tân và phát triển cách thức đại số ở một cường độ tinh xảo cao hơn nữa nhiều. Mặc mặc dù Diophantus và người Babylon dùng cách thức bên trên điểm quan trọng nhằm giải quyết và xử lý những phương trình, góp sức của Al-Khwarizmi là cơ phiên bản. Ông tiếp tục giải quyết và xử lý phương trình tuyến tính và phương trình bậc nhị tuy nhiên ko người sử dụng hình tượng đại số, số âm hoặc số ko, bởi vậy ông tiếp tục nên tách biệt phương trình bậc nhị tổng quát mắng trở nên một vài loại phương trình không giống nhau.^[14]

Trong toàn cảnh đại số được xác lập với những lý thuyết của phương trình, mái ấm toán học tập người Hy Lạp Diophantus được nghe biết như thể "cha đẻ của đại số" tuy nhiên trong thời hạn thời gian gần đây có tương đối nhiều cuộc bàn bạc về sự việc liệu al-Khwarizmi, người gây dựng đi ra quy tắc đổi khác al-jabr (khôi phục), xứng danh rộng lớn với thương hiệu bên trên.^[15] Những người cỗ vũ Diophantus chỉ ra rằng thực tiễn là những quy tắc đổi khác đại số nhập Al-Jabr đem phần sơ cung cấp rộng lớn Khi đối chiếu với những quy tắc đổi khác đại số nhập Arithmetica và Arithmetica cụt gọn gàng rộng lớn trong những lúc Al-Jabr trọn vẹn người sử dụng ngữ điệu thông thường.^[16] Những người cỗ vũ Al-Khwarizmi chỉ ra rằng thực tiễn là ông tiếp tục ra mắt cách thức "giảm" và "cân bằng" (bỏ chuồn hoặc trừ chuồn cả nhị vế của phương trình mang đến và một số), kể từ cơ đem thuật ngữ al-jabr,^[17] và ông tiếp tục phân tích và lý giải khá đầy đủ về phong thái giải phương trình bậc nhị,^[18] tất nhiên là những minh chứng tự hình học tập, trong những lúc coi đại số là một trong những ngành song lập của riêng biệt nó.^[19] Đại số của ông đã và đang không thể tương quan "với hàng loạt những câu hỏi rất cần phải giải quyết và xử lý, tuy nhiên đang trở thành một cuộc triển lãm chính thức với những định nghĩa vẹn toàn thủy, nhập cơ những tình huống thể hiện nên bao hàm toàn bộ kỹ năng hoàn toàn có thể mang đến phương trình, điều này tiếp tục chứng thật đối tượng người sử dụng thực sự của việc nghiên cứu". Ông cũng nghiên cứu và phân tích phương trình ko tùy thuộc vào câu hỏi và "một cơ hội tóm lại, phương trình không chỉ có giản dị là xuất hiện tại nhập quy trình giải quyết và xử lý một câu hỏi, tuy nhiên nó được đưa đến nhằm giải quyết và xử lý vô số câu hỏi nằm trong loại".^[20]

Một mái ấm toán học tập người Ba Tư không giống là Omar Khayyám đã và đang được ghi công với việc xác lập những nền tảng của hình học tập đại số và nhìn thấy cơ hội giải tự cách thức hình học tập tổng quát mắng của phương trình bậc phụ thân. Tuy nhiên, một mái ấm toán học tập người Ba Tư không giống thương hiệu Sharaf al-Dīn al-Tusi, nhìn thấy cơ hội giải đại số và số học tập mang đến một loạt tình huống không giống nhau của phương trình bậc phụ thân.^[21] Ông cũng cách tân và phát triển những định nghĩa về hàm số.^[22] Các mái ấm toán học tập bấm Độ Mahavira và Bhaskara II, mái ấm toán học tập Ba Tư Al-Karaji,^[23] và mái ấm toán học tập Trung Quốc Chu Thế Kiệt giải quyết và xử lý một vài phương trình bậc phụ thân, tư, năm và bậc cao hơn nữa dùng những cách thức số. Trong thế kỷ 13, cơ hội giải một phương trình bậc phụ thân của Fibonacci là đại diện thay mặt mang đến khởi điểm của hồi sinh nhập nghiên cứu và phân tích đại số ở châu Âu. Khi trái đất Hồi giáo dần dần suy vi, trái đất châu Âu dần dần cách tân và phát triển. Và kể từ cơ đại số tiếp tục cách tân và phát triển không chỉ có thế.

Lịch sử đại số hiện tại đại[sửa | sửa mã nguồn]

François Viète là kẻ tiếp tục đem những nghiên cứu và phân tích mới mẻ về đại số nhập vào cuối thế kỷ 16. Năm 1637, René Descartes xuất phiên bản cuốn La Géométrie, phân phát loài kiến đi ra hình học tập giải tích và ra mắt ký hiệu đại số tiến bộ. Các sự khiếu nại cần thiết khắc ghi sự cách tân và phát triển của đại số là biện pháp đại số công cộng của phương trình bậc phụ thân và bậc tư, được cách tân và phát triển nhập vào giữa thế kỷ 16. Ý tưởng về tấp tểnh thức được mái ấm toán học tập Nhật Seki Kōwa cách tân và phát triển nhập thế kỷ 17, cùng theo với nghiên cứu và phân tích song lập của Gottfried Leibniz 10 năm tiếp sau đó nhằm mục đích giải quyết và xử lý hệ phương trình tuyến tính dùng quỷ trận. Gabriel Cramer đã và đang nghiên cứu và phân tích về quỷ trận và tấp tểnh thức nhập thế kỷ 18. Hoán vị được Joseph-Louis Lagrange phân tách nhập luận văn năm 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations, triệu tập nhập những câu nói. giải của phương trình đại số, nhập cơ ông ra mắt nhiều thức tách bậc Lagrange. Paolo Ruffini là kẻ thứ nhất cách tân và phát triển những lý thuyết về group thiến, và cũng giống như các người chuồn trước, triệu tập nhập việc giải phương trình đại số.

Đại số trừu tượng đã và đang được cách tân và phát triển nhập thế kỷ 19, khởi nguồn từ sự quan hoài cho tới việc giải quyết và xử lý những phương trình, thuở đầu triệu tập nhập những gì giờ đây được gọi là lý thuyết Galois, và về những yếu tố số đem kỹ năng xây cất.^[24] George Peacock là kẻ gây dựng suy nghĩ định đề nhập số học tập và đại số. Augustus De Morgan phân phát loài kiến đi ra đại số mối liên hệ nhập cuốn sách Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs cách tân và phát triển đại số của những vectơ nhập không khí phụ thân chiều, và Arthur Cayley cách tân và phát triển đại số của quỷ trận (đây là một trong những đại số ko phó hoán).^[25]

Các nghành nghề toán học tập mang tên gắn kèm với đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nghành nghề của toán học tập thuộc sở hữu đại số trừu tượng mang tên gắn kèm với đại số; đại số tuyến tính là một trong những ví dụ. Một số không giống ko mang tên gắn kèm với đại số, ví dụ như lý thuyết group, lý thuyết khoanh và lý thuyết ngôi trường. Trong phần này tiếp tục liệt kê một vài nghành nghề của toán học tập với kể từ "đại số" nhập thương hiệu.

Xem thêm: Nguyễn Thanh Tùng

• Đại số sơ cung cấp là phần đại số thông thường được dạy dỗ trong những khóa huấn luyện và đào tạo cơ phiên bản của toán học tập.
• Đại số trừu tượng, nhập cơ những cấu hình đại số như group, khoanh và ngôi trường được khái niệm và mò mẫm hiểu.
• Đại số tuyến tính nghiên cứu và phân tích đặc điểm của phương trình tuyến tính, không khí vectơ và quỷ trận.
• Đại số phó hoán, nghiên cứu và phân tích về những khoanh phó hoán.
• Đại số PC, nghiên cứu và phân tích cơ hội tiến hành những cách thức đại số như thuật toán và lịch trình PC.
• Đại số đồng điều, nghiên cứu và phân tích về những cấu hình đại số tuy nhiên là nền tảng mang đến nghiên cứu và phân tích không khí tôpô.
• Đại số phổ quát mắng, nghiên cứu và phân tích đặc điểm của toàn bộ những cấu hình đại số.
• Lý thuyết số đại số, nhập cơ những tính chất của số được nghiên cứu và phân tích kể từ ý kiến đại số.
• Hình học tập đại số, một Trụ sở của hình học tập, ở dạng vẹn toàn thủy của chính nó xác lập lối cong và mặt phẳng như câu nói. giải của phương trình nhiều thức.
• Tổ ăn ý đại số, nhập cơ cách thức đại số được dùng nhằm nghiên cứu và phân tích những câu hỏi tổng hợp.

Nhiều cấu hình toán cũng khá được gọi là đại số:

• Đại số bên trên một ngôi trường hoặc đại số bên trên một khoanh.
  Nhiều group của đại số bên trên một ngôi trường hoặc bên trên một khoanh mang trong mình một thương hiệu cụ thể:
  • Đại số phó hoán
  • Đại số ko phó hoán
  • Đại số Lie
  • Đại số Hopf
  • Đại số C*
  • Đại số đối xứng
  • Đại số ngoài
  • Đại số Tensor
• Trong lý thuyết đo
  • Đại số sigma
  • Đại số bên trên một luyện hợp
• Trong lý thuyết phân loại
  • Đại số F và F-coalgebra
  • Đại số T
• Trong logic,
  • Đại số quan liêu hệ: một hội tụ những mối liên hệ là đóng góp với những toán tử chắc chắn.
  • Đại số Boole, một cấu hình trừu tượng hóa những đo lường và tính toán với độ quý hiếm luân lý sai và đúng. Các cấu hình cũng có thể có nằm trong thương hiệu.
  • Đại số Heyting

Đại số sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số sơ cấp là mẫu mã cơ phiên bản nhất của đại số. Nó được dạy dỗ mang đến những học viên không tồn tại kỹ năng và kiến thức này về toán học tập ngoài các qui định cơ phiên bản của số học tập. Trong số học tập, chỉ số và quy tắc toán số học tập (chẳng hạn như +, -, ×, ÷) được sử dụng. Trong đại số, số thông thường được màn biểu diễn tự những ký hiệu được gọi là biến chuyển số (như là a, n, x, y hoặc z). Điều này rất rất hữu ích vì:

• Nó được cho phép viết lách những tấp tểnh luật công cộng của số học tập (như a + b = b + a mang đến từng a và b), và bởi vậy là bước thứ nhất nhằm mày mò một cơ hội khối hệ thống những tính chất của khối hệ thống số thực.
• Nó được cho phép tham ô chiếu cho tới những số "chưa biết", xây cất những phương trình và nghiên cứu và phân tích thực hiện thế này nhằm giải quyết và xử lý bọn chúng. (Ví dụ, "Tìm một vài x sao mang đến 3x + 1 = 10" hoặc ra đi rộng lớn "Tìm một vài x sao mang đến ax + b = c". Cách trừu tượng này dẫn theo Tóm lại rằng việc giải quyết và xử lý những phương trình ko tương quan cho tới thực chất của những số lượng rõ ràng tuy nhiên chỉ tương quan cho tới cơ hội giải quyết và xử lý những phương trình bên trên.)
• Nó được cho phép tế bào miêu tả những mối liên hệ hàm số. (Ví dụ, "Nếu chúng ta bán tốt x vé, thì lợi tức đầu tư của các bạn sẽ là 3x − 10 đồng, hoặc f(x) = 3x − 10, nhập cơ f là hàm số, và x là số lượng tuy nhiên hàm số này sẽ tiến hành dùng làm tính toán".)

Đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

Một đa thức là một trong những biểu thức bao gồm tổng của một vài hữu hạn những đơn thức không giống ko, từng đơn thức bao hàm tích của một hằng số và một vài hữu hạn những biến chuyển số với số nón là số vẹn toàn. Ví dụ, x² + 2x − 3 là một trong những nhiều thức của biến chuyển số x. Một biểu thức nhiều thức là một biểu thức hoàn toàn có thể được viết lách lại như 1 nhiều thức, bằng phương pháp dùng những quy tắc phó hoán, phối kết hợp và phân phối quy tắc nằm trong và quy tắc nhân. Ví dụ, (x − 1)(x + 3) là một trong những biểu thức nhiều thức, nếu như phát biểu mang đến đích thì nó ko nên là nhiều thức. Một hàm nhiều thức là một trong những hàm được khái niệm tự một nhiều thức hoặc một biểu thức nhiều thức.. Hai ví dụ bên trên khái niệm và một hàm nhiều thức..

Hai yếu tố cần thiết và đem tương quan nhập đại số là những nhân tử của nhiều thức, tức thị thể hiện tại một nhiều thức như là một trong những tích của những nhiều thức không giống tuy nhiên ko thể tách bậc không chỉ có thế, và việc đo lường và tính toán những ước công cộng lớn số 1 của nhiều thức. Ví dụ nhiều thức bên trên hoàn toàn có thể được viết lách trở nên nhân tử như (x − 1)(x + 3). Một group những câu hỏi đem tương quan là mò mẫm nghiệm số của một nhiều thức một biến chuyển số tự căn thức.

Giáo dục[sửa | sửa mã nguồn]

Môn đại số sơ cung cấp được khêu ý là rất cần được được dạy dỗ mang đến học viên ở lứa tuổi mươi một,^[26] tuy nhiên trong mỗi năm thời gian gần đây môn này chính thức được dạy dỗ ở cung cấp lớp tám (≈ 13 tuổi) ở Mỹ.^[27]

Tại VN, môn đại số được dạy dỗ như 1 phân môn của môn Toán nhập phụ thân lớp 7, 8, 9 (12, 13, 14 tuổi), và đầu tiên cùng theo với môn Hình học tập được dạy dỗ như 1 môn song lập (Đại số & Hình học) từ thời điểm năm lớp 10 (15 tuổi).

Đại số trừu tượng[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số trừu tượng không ngừng mở rộng những định nghĩa không xa lạ nhập đại số sơ cung cấp và số học tập với những số lượng cho tới những định nghĩa tổng quát mắng rộng lớn. Dưới đó là liệt kê những định nghĩa cơ phiên bản nhập đại số trừu tượng.

Tập hợp: Thay vì thế chỉ kiểm tra những loại số không giống nhau, đại số trừu tượng thao tác làm việc với những định nghĩa tổng quát mắng rộng lớn - luyện hợp: hàng loạt của toàn bộ những đối tượng người sử dụng (gọi là phần tử) được lựa lựa chọn theo đuổi một điểm lưu ý này cơ. Tất cả những group những loại số không xa lạ đều là những hội tụ. Ví dụ không giống về hội tụ bao hàm hội tụ của toàn bộ quỷ trận hai-nhân-hai, hội tụ toàn bộ những nhiều thức bậc nhị (ax² + bx + c), hội tụ của toàn bộ những vectơ hai phía nhập một phía phẳng lì, và một loạt group hữu hạn giống như các group cyclic, này là group những số vẹn toàn đồng dư modulo n. Lý thuyết hội tụ là một trong những nhánh của logic và về mặt mũi lý thuyết ko nên là một trong những nhánh của đại số.

Phép toán nhị ngôi: Dấu của quy tắc nằm trong (+) được trừu tượng hóa nhằm người sử dụng cho quy tắc toán nhị ngôi, ví dụ điển hình quy tắc ∗. Các định nghĩa về quy tắc toán nhị ngôi là bất nghĩa nếu như hội tụ tuy nhiên bên trên cơ những quy tắc toán bên trên được khái niệm. Đối với nhị thành phần a và b nhập một luyện S, a ∗ b cũng là một trong những thành phần cúa S; ĐK này được gọi là tính đóng góp của hội tụ so với quy tắc toán. Phép nằm trong (+), quy tắc trừ (−), quy tắc nhân (×, ·), và quy tắc phân chia (÷, /, :) hoàn toàn có thể là quy tắc toán nhị ngôi Khi xác lập bên trên những hội tụ không giống nhau, rưa rứa quy tắc nằm trong và quy tắc nhân những quỷ trận, vectơ và nhiều thức.

Phần tử đơn vị: Những số lượng 0 và 1 được trừu tượng hóa sẽ tạo đi ra định nghĩa về một phần tử đơn vị cho 1 quy tắc toán. 0 là thành phần đơn vị chức năng được cho phép nằm trong và một là thành phần đơn vị chức năng được cho phép nhân. Đối với cùng một quy tắc toán nhị ngôi ∗ thành phần đơn vị chức năng e nên vừa lòng a ∗ e = a và e ∗ a = a, và nế như đó tồn bên trên thì nó nên là độc nhất. Vấn đề này đích với quy tắc nằm trong vì thế a + 0 = a và 0 + a = a và quy tắc nhân Khi a × 1 = a và 1 × a = a. Không nên toàn bộ những hội tụ và quy tắc toán nhị ngôi đều phải sở hữu thành phần đơn vị; Ví dụ, hội tụ số bất ngờ (1, 2, 3,...) không tồn tại thành phần đơn vị chức năng được cho phép nằm trong.

Phần tử nghịch tặc đảo: Các số âm đã mang đi ra định nghĩa những thành phần nghịch tặc hòn đảo. Đối với quy tắc nằm trong, thành phần nghịch tặc hòn đảo của a được viết lách là -a, và được cho phép nhân thành phần này được viết lách là a⁻¹. Một nguyên tố hòn đảo ngược tổng quát mắng a⁻¹ vừa lòng nằm trong tính: a * a⁻¹ = e và a⁻¹ * a = e, nhập cơ e là thành phần đơn vị chức năng.

Tính kết hợp: Phép với mọi số vẹn toàn mang trong mình một tính chất được gọi là phối kết hợp. Nghĩa là, việc group những số được thêm nữa ko tác động cho tới tổng. Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Nói công cộng, điều này trở nên (a * b) * c = a * (b * c). Thuộc tính này là đích với đa số những quy tắc toán nhị phân, trừ quy tắc trừ hoặc quy tắc phân chia hoặc quy tắc nhân octonon.

Tính phó hoán: Phép nằm trong và quy tắc nhân của số thực đều là phó hoán. Vấn đề này tức thị trật tự của những số ko tác động cho tới thành quả. Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2. Nói công cộng, điều này tiếp tục trở nên a * b = b * a. Thuộc tính này sẽ không đích mang đến toàn bộ những quy tắc toán nhị phân. Ví dụ, quy tắc nhân quỷ trận và quy tắc phân chia bậc tư đều ko phó hoán.

Nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Kết ăn ý những định nghĩa bên trên cho 1 trong mỗi cấu hình cần thiết nhất nhập toán học: group. Một group là việc phối kết hợp của một hội tụ S và một quy tắc toán nhị phân độc nhất, được xác lập theo đuổi ngẫu nhiên cơ hội này chúng ta lựa chọn, với những tính chất sau:

• Một thành phần đơn vị chức năng e tồn bên trên, sao cho từng member a nằm trong S, e ∗ a và a ∗ e đều tự a.
• Mỗi thành phần đều phải sở hữu thành phần nghịch tặc đảo: so với từng member a nằm trong S, tồn bên trên một member a⁻¹ sao mang đến a ∗ a⁻¹ và a⁻¹ ∗ a đều tự thành phần đơn vị chức năng e.
• Phép toán mang tính chất kết hợp: nếu như a, b và c là những member của S, thì (a ∗ b) ∗ c tự a ∗ (b ∗ c).

Nếu một group cũng có thể có tính phó hoán - tức thị, với ngẫu nhiên nhị member a và b của S, a * b tự b * a - thì group được gọi là group phó hoán hoặc group Abel.

Vành và trường[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ thể chính[sửa | sửa mã nguồn]

Dưới đó là một vài chủ thể chủ yếu của đại số:

• Các không thay đổi đại số
• Các nhiều thức
• Các đại số có tên người
• Các đẳng thức đại số
• Các lối cong đại số
• Các lối cong elíp
• Các nhân thức
• Các group sóng
• Các quy tắc đổi khác đại số
• Các phương trình đại số
• Các đặc điểm đại số
• Các tổng đại số
• Cyclotomy
• Dạng bình phương
• Đại số đồng điều
• Đại số ko phó hoán
• Đại số phổ dụng
• Đại số tuyến tính
• Đại số tổng quát
• Đại số véc-tơ
• Đại số vô hướng
• Hình học tập đại số
• Lý thuyết giá bán trị
• Lý thuyết mã hoá
• Lý thuyết nhóm
• Lý thuyết nửa nhóm
• Lý thuyết số
• Lý thuyết ngôi trường đại số
• Lý thuyết vành

Phương trình đại số[sửa | sửa mã nguồn]

• Phương trình tuyến tính
• Phương trình bậc hai
• Phương trình bậc ba
• Phương trình lũy thừa
• Phương trình đạo hàm

Linh tinh[sửa | sửa mã nguồn]

Từ đại số còn được dùng cho những cấu hình đại số khác:

Xem thêm: Teen 2k1: Sai lầm sơ đẳng khiến bạn trượt THPTQG 2019

• Đại số bên trên ngôi trường (K-algebra)
• Đại số bên trên luyện hợp
• Đại số Bool
• Đại số sigma (σ-algebra)

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Hệ thống đại số máy tính
• Diophantus, "cha đẻ của đại số"
• Mohammed al-Khwarizmi, được nghe biết như thể "cha đẻ của đại số". [1]

Sách tham ô khảo[sửa | sửa mã nguồn]

• Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7
• Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• John J O'Connor and Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index. In MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: Elements of Algebra Lưu trữ 2011-04-13 bên trên Wayback Machine, ISBN 978-1-899618-73-6
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Tiếng Anh[sửa | sửa mã nguồn]

• Khan Academy: Conceptual videos and worked examples
• Khan Academy: Origins of Algebra, không tính phí online micro lectures Lưu trữ 2013-05-09 bên trên Wayback Machine
• Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra
• 4000 Years of Algebra Lưu trữ 2007-10-04 bên trên Wayback Machine, lecture by Robin Wilson, at Gresham College, ngày 17 mon 10 trong năm 2007 (available for MP3 and MP4 tải về, as well as a text file).
• Pratt, Vaughan. “Algebra”. Trong Zalta, Edward N. (biên tập). Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Wikimedia Commons được thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Đại số.